🔢 Verificador del Conjunto S(2) de Artin

Caracterización Dinámica mediante Funciones Tipo Collatz

📚 Definición del Conjunto S(2)

S(2) es el conjunto de todos los primos p tales que 2 es raíz primitiva módulo p, es decir, el orden multiplicativo de 2 módulo p es exactamente p - 1.

Primeros elementos: S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, ...}

⚙️ Función de Verificación

Para verificar si un primo p pertenece a S(2), utilizamos la función tipo Collatz con parámetro k = p:

f(n) = n/2 si n es par
f(n) = (n+k)/2 si n es impar
donde k = p (el primo a verificar)

Variables:
• p: el primo candidato que queremos verificar
• k: parámetro de la función, se fija k = p
• n: variable que recorre la secuencia, empieza en n = 1

✅ Criterio de Pertenencia (Teorema de Caracterización)

p ∈ S(2) si y solo si la función f con parámetro k = p genera un único ciclo de longitud p-1 sobre el conjunto {1, 2, ..., p-1}, más el punto fijo p.

ℹ️ Cómo funciona:
• El número p que introduces es el primo candidato a verificar
• Se usa como parámetro k = p en la función f(n)
• La secuencia siempre comienza desde n = 1
• Se analiza la estructura de ciclos en {1, 2, ..., p-1}

💡 Ejemplos de primos:
• Pequeños: 37, 53, 61, 67 (en S(2)) | 7, 23, 31 (no en S(2))
• Medianos: 1013, 2027, 5003
• Grandes: 1000003, 1299709 (modo optimizado, p > 10,000)