Estructura 2-ádica
Este capítulo aborda la dinámica de Collatz en dos movimientos. Primero fija el recinto: tras el primer impar ningún término es múltiplo de tres, de modo que todos caen en el grupo de unidades módulo nueve. Se precisa, sin embargo, que ese cierre no impone ninguna restricción adicional, porque el refinamiento a módulo nueve depende por entero de la valuación 2-ádica y no aporta información independiente de la clase módulo tres. Dentro de ese recinto se describe con exactitud el tramo impar asociado a la descomposición n=m2^k−1: su longitud, el tipo módulo cuatro de cada término, el valor par que lo cierra y la longitud de su cola. El mecanismo que impide que las rachas de crecimiento se prolonguen resulta así aritmético y no estadístico; el encadenamiento de tramos sucesivos queda expresamente fuera de su alcance.
Se demuestra que la descomposición n=m2^k−1 determina el tramo impar por completo: consta de exactamente k términos, dados en forma cerrada por n_j=3^jm2^(k−j)−1, de los cuales los k−1 primeros son de tipo 4n+3 con colapso unitario y el último es de tipo 4n+1. Se obtienen además el par de cierre 3^km−1, el cociente (3/2)^k que el tramo aplica a n+1, y la longitud exacta de la cola par que lo sigue. De ello se sigue que las rachas de impares de tipo 4n+3 tienen longitud prescrita por la valuación de n+1 y no pueden concatenarse indefinidamente.