Aritmética modular
Este capítulo estudia cómo se reparten, entre las clases residuales módulo \(2^k\), los representantes canónicos \(1\le E<3^n\) de las unidades módulo \(3^n\). Es un aspecto concreto de la interacción entre las estructuras 3-ádica y 2-ádica que subyace a la dinámica de Collatz. El estudio se extiende después a toda base prima impar \(b\), donde la base \(3\) resulta ser el primer caso de una familia distinguida: los primos de Mersenne. Los resultados son de aritmética elemental, con demostraciones completas y sin dependencia de cálculo por ordenador, y no tienen por sí mismos consecuencias sobre la conjetura.
Periodicidad y clasificación de las distribuciones \(m_n(r)\) Mediante una regularización de paridad, las unidades módulo \(b^n\) definen una multiplicidad \(m_n(r)\) sobre las clases impares módulo \(2^k\). Esta sección reúne tres escritos. El primero establece, para \(b=3\), la periodicidad afín exacta de esas distribuciones y las clasifica por completo módulo \(256\). El segundo extiende la clasificación a todo módulo \(2^k\) e identifica en ella la sucesión de Jacobsthal. El tercero generaliza el estudio a toda base prima impar \(b\), expresa el invariante central mediante sumas de Dedekind con una cota óptima y caracteriza las bases sin casos frontera como los primos de Mersenne.