El capítulo estudia aplicaciones enteras definidas por clases de residuos, de la forma T(n) = (mᵢn + rᵢ)/d según n mod d, que generalizan la aplicación de Collatz. El comportamiento de sus órbitas queda gobernado por la deriva logarítmica, cuyo signo separa los sistemas en los que todas las órbitas terminan en ciclos de aquellos en que conviven ciclos largos con órbitas que escapan al infinito. Se examina también la construcción de sistemas con ciclos prescritos: cuando los extremos del ciclo tienen paridad distinta, los sistemas resultantes son conjugados afines de Collatz y su convergencia equivale a la propia conjetura; cuando tienen la misma paridad, aparece una rama de reflexión y una aplicación de tipo Collatz que no es conjugada de ella. En conjunto, el capítulo muestra que la dificultad del problema no reside en los ciclos que se eligen, sino en la dinámica que los rodea.