Este capítulo estudia la dinámica de Collatz a través de las raíces digitales, es decir, de los residuos módulo 9, y de su representación en un grafo dirigido. En lugar de seguir los números naturales uno a uno, se agrupan según su raíz digital y su paridad, lo que da un grafo finito de dieciocho nodos sobre el que pueden estudiarse globalmente las transiciones de la función de Collatz.
En ese grafo se clasifican los once ciclos elementales posibles: nueve son contractivos, salvo el circuito trivial 4→2→1, y dos pueden producir expansión neta. Se caracterizan aritméticamente estos dos ciclos mediante valuaciones 2-ádicas, con la distribución exacta de las longitudes de sus bloques, y se demuestra que una órbita que deja de recorrerlos alcanza el 1. Una órbita no convergente que prescindiera del ciclo crítico tendría que encadenar infinitas veces dos o más circuitos del otro ciclo expansivo. Cada nodo agrupa infinitos enteros, y su raíz digital y su paridad no determinan la paridad de los términos siguientes, que es la que gobierna la dinámica; por eso esta reducción delimita dónde tendría que estar una órbita no convergente, pero no decide si existe.