Ciclos
El hilo que recorre el Capítulo 50 es el mapa de retorno verde; pero para llegar a él con solidez conviene empezar por su cimiento. El Capítulo 50 reorganiza el estudio de los ciclos de Collatz cambiando el objeto de partida: no los números, sino la tabla de tramos y su estructura. La observación central es que esa tabla recubre los impares con repetición, y que una reducción canónica la parte en fibras finitas, cada una con un representante mínimo. Sobre esos representantes —las columnas mínimas— la dinámica de Collatz se proyecta como una aplicación, el mapa de retorno verde, cuyo grafo funcional traduce el problema de los ciclos en el de sus bucles. El capítulo recorre esa cadena en orden: la descomposición en fibras (estructura estática), la dinámica inducida y su grafo, el punto fijo (resuelto vía Steiner) y el primer caso abierto, los 2-ciclos. Conviene decirlo desde el principio: esta es una reorganización del problema, no una solución. La finitud de las fibras y la estructura del grafo son incondicionales; la convergencia de las órbitas —la no-divergencia y la unicidad del ciclo trivial— permanece abierta. El valor del capítulo está en el cambio de nivel: de los enteros a las fibras, y de estas a la dinámica entre sus representantes.
Los seis escritos de este capítulo estudian el mapa de retorno verde, primer retorno de la dinámica de Collatz a los impares congruentes con 1 módulo 4, cuyo origen visual es la tabla de columnas. Se establecen sus formas cerrada y afín, la reducción de los tramos a fibras finitas y su representación como grafo funcional, cuyos bucles corresponden a los ciclos no triviales. Los ciclos del mapa se tratan después según su longitud (punto fijo, 2-ciclos y k-ciclos), mediante una reducción por niveles a cribas elementales. El cierre de cada caso remite a los resultados de Steiner, Simons y Simons–de Weger.