Estructura 2-ádica
Este capítulo estudia el colapso 2-ádico del operador impar de Collatz en tres movimientos. El primero describe con exactitud la estructura local que ese colapso impone sobre los impares. El segundo construye dos formulaciones funcionales que lo separan del crecimiento multiplicativo, con el que en la dinámica clásica aparece inseparablemente mezclado. El tercero analiza, como sistema autónomo, la dinámica que resulta de fijar la profundidad del colapso en lugar de dejarla variar. La tesis que recorre las tres secciones es que la dificultad del problema no reside en ninguno de los dos mecanismos por separado, sino en su acoplamiento. Las secciones 25.1 y 25.3 la sostienen desde extremos opuestos: la primera muestra hasta dónde llega el control exacto mientras el colapso está acotado, y la tercera muestra que al fijarlo la complejidad característica desaparece, aunque no lo haga la dificultad demostrativa.
Estudio autocontenido del operador impar T(m) sobre un escenario estático que reparte los impares en dos filas disjuntas. Se demuestra que la partición no es una elección arbitraria de congruencias: la fila principal coincide exactamente con el conjunto de impares cuyo colapso no excede de dos. Sobre ella el operador es una biyección afín a trozos hacia los impares coprimos con 3, y selecciona para cada uno su preimagen de colapso mínimo, de modo que la fila principal es una sección inversa canónica. Cada fibra resulta ser la órbita de esa preimagen mínima bajo x↦4x+1, y la fila complementaria es exactamente el conjunto de preimágenes no mínimas. Se describen después las transiciones entre clases módulo potencias de dos, cuantificando cuántos niveles de precisión consume cada iteración, y se muestra que la clase módulo 3 de una imagen registra únicamente la paridad del exponente de colapso. Una nota de procedencia sitúa el origen del material en notas de trabajo de julio de 2018.
Se introducen dos formulaciones funcionales sobre el conjunto ampliado Z∪(Z+1/2), que incorporan de manera distinta las divisiones por potencias de dos. La primera, F_1, no descompone el paso entre impares en regímenes afines, como podría parecer, sino en dos mecanismos de naturaleza distinta: un descenso dentro de una fibra y un puente que ejecuta el paso. Se prueba que su rama impar es la inversa del generador x↦4x+1, que dos pasos reproducen el operador impar sobre la fila principal, y que la longitud del descenso vale ⌈v2(3m+1)/2⌉−1: la profundidad del colapso queda medida y no oculta. La separación que F_1 consigue es, por tanto, sólo de presentación, y su dinámica subyacente conserva íntegra la dificultad clásica. La segunda, F_2, fija los divisores de cada rama y traslada la información del colapso al tipo de estado visitado; ahí la separación sí es efectiva.
Se estudia F_2 como sistema autónomo, sin referencia comparativa hasta la sección final. El cambio de variable y=2x la convierte en una aplicación entera de tres ramas afines con divisores fijos. Se determinan sus puntos fijos y se prueba que ningún ciclo puede tener multiplicador uno, de donde no existen ciclos positivos formados sólo por estados semienteros. Se demuestra después que la palabra de las n primeras ramas queda determinada módulo 4^n y que cada palabra con a ramas expansivas procede de exactamente 2^a clases, lo que fija la medida inducida y convierte cualquier pregunta sobre n pasos en una pregunta sobre variables independientes. De ahí se obtienen dos resultados: ningún iterado es uniformemente contractivo, y casi todo entero positivo tiene tiempo de parada finito con cota explícita. La convergencia global, verificada sobre más de doscientos mil estados, queda abierta. Una sección final compara la dinámica con la clásica y delimita qué comparten y qué no.