Para las constantes afortunadas de Euler, los primos p para los que n² + n + p es primo cuando 0 ≤ n ≤ p − 2, se determinan exactamente los valores compuestos del polinomio en el intervalo p − 1 ≤ n ≤ 2p − 2. Son los de las posiciones n_k = (p − 1) + k², donde el valor es el producto de dos términos consecutivos de la sucesión a_k = p + k(k + 1). De ello resulta que esta parte de la cola se descompone en bloques de 2k primos consecutivos, seguidos de un último tramo de primos y del compuesto p(4p − 1). La demostración es elemental y vale para las seis constantes afortunadas, que se presentan como ejemplos.

Se estudia la longitud ℓ(p) del tramo inicial de valores primos del polinomio n² + n + p para un primo p cualquiera. Se demuestra que ℓ(p) es el menor j para el que algún primo q < p cumple p ≡ −j(j + 1) (mód q), y se interpreta este resultado en el cuerpo ℚ(√(1 − 4p)) según que q sea inerte, ramificado o descompuesto. Se obtiene también una caracterización equivalente mediante las formas cuadráticas reducidas de discriminante 1 − 4p, de la que se deduce, por el argumento clásico, el teorema de Rabinowitsch. Se añaden datos sobre los discriminantes no fundamentales y la predicción de Hardy y Littlewood para los primos con tramo inicial largo.