Periodicidad afín exacta de las distribuciones \(m_n(r)\) y clasificación completa de su dominio fundamental La regularización de paridad reduce \(m_n(r)\) a un conteo de dos clases residuales módulo \(768\) en un único intervalo, de donde se obtiene en pocas líneas la identidad \(m_{n+32}(r)=m_n(r)+3^{n-1}(3^{32}-1)/64\). La distribución normalizada depende solo de \(u_n=3^{n-1}\bmod 128\) y se clasifica explícitamente en tres regímenes. En el régimen central la oscilación es \(2\) y siempre hay exactamente \(84\) clases con valor intermedio. 📄 Ver PDF Clasificación completa de las distribuciones \(m^{(k)}_n(r)\) para todo módulo \(2^k\) La clasificación en tres regímenes se extiende a todo \(k\ge4\), según la posición de \(6u_n\) respecto de \(2^k\) y \(2^{k+1}\), con periodo mínimo exacto \(2^{k-3}\). En el régimen central, el número de clases con valor intermedio es \(4J_{k-2}\), y exactamente \(J_{k-3}\) exponentes de cada periodo pertenecen a él, donde \(J\) es la sucesión de Jacobsthal. Una congruencia módulo \(12\) excluye los casos frontera que podrían romper la clasificación para \(k\) impar. 📄 Ver PDF Distribución 2-ádica de las unidades módulo \(b^n\): regímenes, invariante central y casos frontera La estructura de los Escritos 1 y 2 se extiende a toda base prima impar \(b\): la distribución se organiza en \(b\) regímenes posibles, con oscilación nunca mayor que \(2\), y solo el régimen central tiene un invariante, que admite la expresión explícita \(4N_{b,k}=\frac{(b+1)2^k}{4b}+4\left[3s(2^{k-1},b)-2s(2^k,b)-s(2^{k-2},b)\right]\) mediante sumas de Dedekind. Su desviación respecto del valor medio está acotada por \(\frac{b^2-1}{2b}\), cota óptima que se alcanza exactamente cuando \(2^{k-1}\equiv\pm1 \pmod b\). Los casos frontera quedan caracterizados, y las bases que nunca los presentan son exactamente los primos de Mersenne \(2^p-1\), de los que \(3\) es el primero. 📄 Ver PDF Volver al Capítulo