A lo largo del tiempo se han propuesto diversas variantes de la transformación \(3n+1\). Aunque difieren en su formulación, todas comparten el mismo espíritu: reglas elementales que alternan multiplicaciones y divisiones, generando secuencias de comportamiento complejo.

• Variante \(2n+2\)

  La variante \(2n+2\) mantiene la división por 2 en los pares y aplica una transformación afín a los impares. Se define por:

  \[ T_{2n+2}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & \text{si } n \text{ es par}, \\[6pt] \dfrac{2n+2}{2} = n+1, & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]

  Cuando \(n\) es impar, \(n+1\) es par, con lo que la siguiente iteración forzosamente realiza al menos una división por 2. Esta variante produce ciclos distintos del clásico \(4\to2\to1\) y se utiliza como ejemplo canónico de modificación mínima de la regla.

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• Variante \(3n-1\)

  En esta variante se invierte el signo del término constante respecto a \(3n+1\), manteniendo la división por 2 en los pares:

  \[ T_{3n-1}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & \text{si } n \text{ es par}, \\[6pt] \dfrac{3n-1}{2}, & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]

  Dado que \(3n-1\) es par para \(n\) impar, la expresión es entera. Esta versión suele generar trayectorias alternativas (a veces con ciclos de mayor longitud o que involucran valores negativos al extender el dominio), lo que la convierte en un banco de pruebas natural para contrastar fenómenos dinámicos frente a \(3n+1\).

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• Variante \(5x+1\)

  La variante \(5x+1\), propuesta por Eric Roosendaal (2003), extiende las reglas de división y aplica una transformación más agresiva en los números que no cumplen ninguna condición de divisibilidad. Se define por:

  \[ T_{5x+1}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{2}, \\[6pt] \dfrac{n}{3}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{3} \text{ y } n \text{ es impar}, \\[6pt] 5n+1, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

  Esta variante prioriza las divisiones por 2 y por 3 antes de aplicar la transformación multiplicativa. La conjetura asociada afirma que para todo \(n > 1\), existe un \(k > 1\) tal que \(T_{5x+1}^k(n) = 1\), es decir, que toda trayectoria eventualmente alcanza el valor 1.

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• Variante \(7x+1\)

  En esta variante, propuesta por Tomás Oliveira e Silva (2003), se incorporan divisiones por 2, 3 y 5, aplicando la transformación \(7x+1\) únicamente cuando el número no es divisible por ninguno de estos primos:

  \[ T_{7x+1}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{2}, \\[6pt] \dfrac{n}{3}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{3}, \\[6pt] \dfrac{n}{5}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{5}, \\[6pt] 7n+1, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

  Al incluir más divisores primos, esta variante genera trayectorias con mayor complejidad estructural. La conjetura plantea que todo número positivo eventualmente converge a 1 mediante iteraciones sucesivas, aunque el número de pasos puede variar significativamente según el valor inicial.

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• Variante \(7x \pm 1\)

  La variante \(7x \pm 1\), estudiada por David Barina (2018), distingue los números impares según su residuo módulo 4, alternando entre suma y resta del término constante:

  \[ T_{7x \pm 1}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{2}, \\[6pt] 7n+1, & \text{si } n \equiv 1 \pmod{4}, \\[6pt] 7n-1, & \text{si } n \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} \]

  Esta regla de alternancia introduce una dependencia más sutil de la clase de congruencia del número impar. La conjetura afirma que todas las órbitas convergen a 1, y se considera un caso intermedio interesante entre las variantes clásicas y las generalizaciones más amplias.

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• Variante \(px+1\) (generalizada)

  La variante generalizada \(px+1\) parametriza la transformación mediante un número primo \(p\). Para un primo \(p\) fijo, se divide por cualquier primo menor que \(p\) cuando sea posible, y se aplica \(px+1\) en caso contrario:

  \[ T_{px+1}(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{q}, & \text{si } n \equiv 0 \pmod{q}, \text{ con } q < p \text{ primo}, \\[6pt] pn+1, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

  Esta formulación unifica múltiples variantes bajo un mismo marco teórico, permitiendo estudiar propiedades comunes a toda la familia de problemas tipo Collatz. La conjetura generalizada sostiene que para todo primo \(p\) y todo \(n > 1\), existe un \(k > 1\) tal que \(T_{px+1}^k(n) = 1\).

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