Escritos CXXII-CXXX. La Sección 39.1 desarrolla la teoría algebraica del índice de selección k(p) a través de la identidad de síntesis, que descompone el símbolo de Kummer en dos ingredientes separados: el símbolo intrínseco del elemento fijo y una corrección aritmética determinada por los parámetros de la torre. Se estudian las propiedades aritméticas de cada ingrediente, se identifican las condiciones bajo las cuales la reciprocidad clásica gobierna el sistema, y se establece que la distribución de k(p) no puede capturarse mediante congruencias de módulo fijo.

Escritos CXXXI-CXXXVIII. La Sección 39.2 clasifica los primos primitivos en tres regímenes según la geometría de cancelación de la identidad de síntesis y establece la factorización estructural del sistema en una componente modular, gobernada por congruencias de módulo cuadrado, y una componente dinámica relacionada con el orden multiplicativo de dos. El capítulo cierra con la conjetura de factorización distribucional y señala las tres direcciones naturales del programa del Capítulo 40.