I. Segmentación en tramos de la dinámica de Collatz: relación fundamental, malla triangular y transiciones modulares Se descompone toda trayectoria en tramos y se demuestra que la altura de un tramo que empieza en \(A\) es exactamente \(K=\nu_2(A+1)\), que sus extremos cumplen \(\frac{B+1}{A+1}=\left(\frac32\right)^K\) y que todo tramo admite forma cerrada, incluso los de altura colosal. El paso de cierre produce siempre un descenso respecto del último impar del tramo, pero los inicios de tramos consecutivos no son monótonos. En la coordenada \(n+1\), la malla generada por \(2n+1\) y \(3n+2\) se identifica con la descomposición \(n+1=2^i3^ju\), con \(\gcd(u,6)=1\): cada entero ocupa un único nodo, y cada tramo recorre una diagonal de un solo triángulo. Se clasifican además las transiciones entre tramos mediante congruencias módulo potencias de \(2\). 📄 Ver PDF II. Coordenadas \((m,K)\) y el mapa de tramo: la arquitectura global Cada impar se escribe de forma única como \(n=m\cdot2^K-1\), con \(m\) impar, y la dinámica de Collatz se reduce a iterar un único mapa \(\Phi(m,K)=(m',K')\) que colapsa cada tramo en un paso. La conjetura equivale a que toda órbita de \(\Phi\) alcance \((1,1)\), y los puntos fijos de \(\Phi\) son los \(1\)-circuitos del teorema de Steiner. El tramo se interpreta como la sombra del punto fijo \(2\)-ádico \(-1\). Se demuestra que \(\Phi\) preserva la medida de Haar y que, bajo ella, los pares \((K_t,s_t)\) sucesivos son independientes e idénticamente distribuidos, con ley \(2^{-(K+s)}\); en particular, la densidad de los impares con nivel de salida \(K'=j\) es exactamente \(2^{-j}\). Queda abierto el comportamiento de esos pares a lo largo de la órbita de un entero concreto. 📄 Ver PDF III. La magnitud del reseteo y la contracción neta del tramo Se estudia la profundidad del reseteo \(s=\nu_2(m\cdot3^K-1)\) y se prueba que su ley sobre los impares es exactamente \(2^{-j}\), independiente de \(K\). Un tramo aislado contrae si y solo si \(s>K\log_2\frac32\), de modo que los tramos largos típicamente se expanden. Contando por paso impar, se demuestra que bajo la medida de Haar la división media tiende a \(2\) para casi todo punto \(2\)-ádico, con factor neto \(\frac34\). Para las órbitas de los enteros ese promedio es una hipótesis, respaldada por el cómputo sobre más de once millones de tramos pero no demostrada. 📄 Ver PDF IV. El tiempo de parada por tramos: decrecimiento de densidad \(1\) Dentro de un tramo los valores crecen, de modo que toda caída por debajo del valor inicial ocurre en una frontera de tramo. Se reproduce, con demostración y en las coordenadas de la serie, el teorema de Terras–Everett: el conjunto de impares cuya órbita cae por debajo de su valor inicial tiene densidad \(1\). La prueba usa solo densidades exactas sobre prefijos finitos de la órbita y una cota de Chernoff. Quedan abiertos los dos saltos que separan este hecho de la conjetura: de densidad \(1\) a todo \(n\), y de un primer descenso a la convergencia total. 📄 Ver PDF V. El proceso de records, la deriva orbital y la acotación de las órbitas La iteración de los descensos se formula como un proceso de records: la sucesión estrictamente decreciente de mínimos alcanzados en fronteras de tramo. Se enuncia la cota de descenso relativo de Korec y se formula la hipótesis de deriva orbital \((H_{\mathrm{dr}})\): \(\liminf_{L\to\infty}\frac1L\sum_{i<L}r_i>\log_2 3\). Se demuestra que \((H_{\mathrm{dr}})\) equivale a que la órbita sea acotada, lo que muestra que la reformulación por deriva no es un atajo, sino una descripción exacta de la mitad divergente del problema. 📄 Ver PDF VI. Frecuencias residuales a lo largo de la órbita y deriva orbital: un criterio módulo \(8\) Se da un criterio suficiente de no divergencia en términos de un observable definido sobre toda órbita: las frecuencias \(F(a)\) con que sus impares visitan las clases residuales módulo \(8\). Si \(\liminf\bigl(F(1)+2F(5)\bigr)>\log_2 3-1\approx0{,}585\), la órbita es acotada; basta, por ejemplo, que la discrepancia orbital módulo \(8\) quede por debajo de \(0{,}055\). La escala \(8\) es la mínima para este criterio de truncamiento. Bajo la medida de Haar el criterio se cumple para casi todo punto \(2\)-ádico; para los enteros sigue abierto. Se incluyen mediciones sobre órbitas concretas y, como modelo idealizado, la cola exponencial de las excursiones bajo Haar. Este escrito sustituye a los que ocupaban las antiguas Secciones 31.8 y 31.9. 📄 Ver PDF Volver al Capítulo